高等数学——多元函数微分学

多元函数微分学

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y)\in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z=f(x,y)$。其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量，函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面。

多元函数的极限

设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)\in D$或为$D$的边界点，如果$\forall \epsilon >0$，存在$\delta >0$，当$P(x,y)\in D$，且$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$时，都有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to (x_0,y_0)$时的极限，记为$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$或$\underset{x\to x_{0}y\to y_0}{\lim }f(x,y)=A$或$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$。一元函数的以下性质对多元函数仍然适用：

• 局部有界性
• 保号性
• 有理运算
• 极限与无穷小的关系
• 夹逼原理

多元函数的连续性

设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)\in D$，如果$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$成立，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续，如果$f(x,y)$在区域$D$上的每个点$(x,y)$处都连续，则称函数$f(x,y)$在区域$D$上连续。

• 性质一：多元函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
• 性质二：多元连续函数的复合函数也是连续函数。
• 性质三：多元初等函数在其定义区域内连续。
• 性质四（最大最小值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得最大值和最小值。
• 性质五（介值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得介于最大值和最小值之间的任何值。

偏导数

定义

设$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，则称这个极限值为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记为$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$。类似的，如果$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$存在，则称这个极限值为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数，记为$\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。

高阶偏导数

如果$f(x,y)$在区域$D$内的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$仍然存在偏导数，则称之为函数$f(x,y)$的二阶偏导数，常记为$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$或$f_{xx}^{\prime \prime }$，$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$或$f_{xy}^{\prime \prime }$，$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$或$f_{yx}^{\prime \prime }$，$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$或$f_{yy}^{\prime \prime }$。常称$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$为混合偏导数。如果函数$f(x,y)$的两个二阶混合偏导数$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$在区域$D$内连续，则在该区域内这两个混合偏导数一定相等。

全微分

定义

如果函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的全增量$\Delta x=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$可表示为$\delta x=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中$A,B$与$\Delta x,\Delta y$无关，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，而$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分，记为$dz=A\Delta x+B\Delta y$。如果$f(x,y)$在区域$D$内的每一点$(x,y)$都可微分，则称$f(x,y)$在$D$内可微。

全微分存在的必要条件

如果函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，则该函数在点$(x,y)$处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$。用定义判断函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的可微性分为以下两步：

• $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$和$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$是否存在。
• $\underset{\Delta x\to 0\Delta y\to 0}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$是否等于零。

全微分存在的充分条件

如果函数$f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x_0,y_0)$ 处连续，则函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$ 处可微。

多元函数的微分法

复合函数微分法

• 定义：设函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$在点$(x,y)$处有对$x$及对$y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$处有连续偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
• 全微分形式的不变性：设函数$z=f(u,v),u=u(x,y)$，及$v=v(x,y)$都有连续的一阶偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分$dx=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy+\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$，即：不论把函数$z$看左子按量$x,y$的函数，还是看作中间变量$u,v$的函数，函数$z$的全微分形式都是一样的。

隐函数微分法

• 由方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=y(x)$：若函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_0,y_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数$y=f(x)$，并有$y^{\prime }=\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$。
• 由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=z(x,y)$：若函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_0,y_0,z_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_0,y_0,z_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数$z=f(x,y)$，并有$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。

多元函数的极值与最值

无约束极值

设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点$P(x,y)$均有$f(x,y)\le f(x_0,y_0)$，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极大值点，称$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极大值。极大值和极小值点统称为极值点，极大值极小值统称为极值。

• 极值的i要条件：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$存在偏导数，且$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极值点，则$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。
• 极值的充分条件：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)$，记$A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$则有以下结论：
• • 若$AC-B^2>0$，则$(x_0,y_{)})$为$f(x,y)$的极值点。若$A<0$，则$(x_{)},y_{)})$为$f(x,y)$的极大值点；若$A>0$，则$(x_{)},y_{)})$为$f(x,y)$的极小值点。
• • 若$AC-B^2<0$，则$(x_0,y_{)})$不为$f(x,y)$的极值点。
• • 若$AC-B^2=0$，则$(x_0,y_{)})$可能为$f(x,y)$的极值点，也可能不为$f(x,y)$的极值点（此时一般用定义判断）。

求具有二阶连续偏导数的二元函数$z=f(x,y)$极值的一般步骤为：

• 求出$f(x,y)$的驻点$P_1...P_k$。
• 利用极值的充分条件判定驻点$P_i$是否是驻点。

条件极值及拉格朗日乘数法

求$z=f(x,y)$在条件$\phi (x,y)=0$下的条件极值的一般方法为：

• 构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda p(x,y)$
• 将$F(x,y,\lambda )$分别对$x,y,z$求偏导数，构造方程组$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0,\\ f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0,\\ \phi (x,y)=0\end{array}$。

解出$x,y,\lambda$，则其中$(x,y)$就是函数$f(x,y)$在条件$\phi (x,y)=0$下的可能极值点。

最大值最小值

求连续函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的最大值：

• 求$f(x,y)$在点$D$内部可能的极值点。
• 求$f(x,y)$在点$D$的边界上的最大最小值。

二重积分

概念

• 定义：设函数$z=f(x,y)$在有界区域$D$上有定义，将区域$D$任意分成$n$个小区域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$，其中$\Delta {\sigma }_i$代表第$i$个小区域，也表示它的面积，在每个$\Delta {\sigma }_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，做乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，并求和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，记$\lambda$为$n$个小区域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$中最大直径，如果${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$存在，则称$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记为${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。
• 几何意义：二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$是一个数，当$f(x,y)\ge 0$时，其值等于以区域$D$为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶柱体的体积，当$f(x,y)\le 0$时，二重积分的值为负数，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

• 不等式性质：若在$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$，则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$；若在$D$上$m\le f(x,y)\le M$，则$m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$（其中$\sigma$为区域$D$的面积）；$|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma |\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$。
• 中值定理：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$。

计算

利用直角坐标计算

• 先$y$后$x$，积分区域$D$可以用$a\le x\le b$，${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$表示：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$。
• 先$x$后$y$，积分区域$D$可以用$a\le y\le b$，${\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)$表示：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx$。

利用极坐标计算

适合使用极坐标计算的二重积分的特征：

• 适合使用极坐标计算的被积函数：$f(\sqrt{x^2+y^2})f(\frac{}{y}x),f(\frac{x}{y})$。
• 适合用极坐标的积分域如：$x^2+y^2\le R^2,r^2\le x^2+y^2\le R^2，x^2+y^2\le 2ax,x^2+y^2\le 2by$。

利用函数的奇偶性计算

• 若积分区域$D$关于$y$轴对称，$f(x,y)$关于$x$轴有奇偶性，则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_x\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于x为偶函数\\ 0,f(x,y)关于x为奇函数\end{array}$。
• 若积分区域$D$关于$x$轴对称，$f(x,y)$关于$y$轴有奇偶性，则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_y\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于y为偶函数\\ 0,f(x,y)关于y为奇函数\end{array}$。

利用变量的轮换对称性计算

如果积分区域$D$具有轮换对称性，也就是关于直线$y=x$对称，即$D$的表达式中将$x$换作$y$，$y$换作$x$表达式不变，则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$。