算法小抄6-二分查找

二分查找,又名折半查找,其搜索过程如下:

• 从数组中间的元素开始,如果元素刚好是要查找的元素,则搜索过程结束
• 如果搜索元素大于或小于中间元素,则排除掉不符合条件的那一半元素,在剩下的数组中进行查找
• 由于每次需要排除掉一半不符合要求的元素,这需要数组是已经排好序的或者是有规律可循的

在二分查找中,对于每一个反馈,我们能过滤掉一半的数据,因此二分查找相对于普通遍历是一个高效的查找算法,其时间复杂度为O(logn),虽然二分查找的思想很简单,然而二分查找的细节可不少,这里根据力扣的题型给出两种二分查找的写法

二分查找基础版

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使用二分查找的方式在一个升序的数组中找到指定的值并且返回,其代码框架如下:

定义left为左指针,right为右指针,搜索的区域在[left,right]中
搜索目标值为targtwhile(left<=right){//得到查找的中点mid=(left+right)/2//对于升序数组当前值小于目标值，目标值应该在当前值的右侧if(mid<target){左指针右移，如今搜索区域变为[mid,right]}else if(mid>target){右指针左移，如今搜索区域变为[left,mid]}else{只剩下等于的情况了，直接返回结果找到了目标值}
}

代码如下：

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1while left <= right:mid = (right - left) // 2 + leftnum = nums[mid]if num < target:left = mid + 1elif num > target:right = mid - 1else:return midreturn -1

注意，重点来了！！！注意代码中的几个关键点：

• while循环中的条件是left<=right，这意味着在搜索不到答案退出循环时left=right+1，而在二分查找中我们查找的是[left,right]这个区间，这说明所有的数都被搜索到了，记住这一点，以下我们统称left<=right的这种写法为写法一
• mid=(right-left)//2+left这个写法其实与mid=(left+right)/2效果是一致的，这么写的目的是为了防止整形溢出的情况，因为left+right相加如果大于整形最大值的话会导致结果异常
• 在移动左右指针时使用的是right=mid-1和left=mid+1，这是因为mid的值已经在上一轮循环中搜索过了，不需要再进行一次搜索

二分查找进阶版--寻找左右边界

为了引出二分查找的第二种写法,这里给出一道非力扣题型的二分查找

寻找左侧边界

例如对于数组[1,2,2,2,3],查找目标为2,我们需要返回最左边的2的下标1,如果使用写法一我们的代码看起来是下面这样的:

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1while left <= right:mid = (right - left) // 2 + leftnum = nums[mid]if num < target:left = mid + 1elif num > target:right = mid - 1else:right = mid - 1if(left >= len(nums) || nums[left] != target): return -1return left

这段代码有两个注意点:

• 由于要找到最左侧的边界,在else条件里(num=target), 我们不再直接返回结果,而是继续的收缩右边界,直到right越界或者找到最左边界坐标
• 是不是决定很奇怪,为什么最后返回的是left,而且是对left做越界判定,记不记得我在之前说过left<=right的退出条件是left=right+1,我们复盘一下最后一轮循环的情况,你就知道为什么最后返回的是left而且也是对left进行越界的判断了

• 复盘最后一轮循环的过程,对于数组[1,2,2,2,3],target为2,假设当前mid为1,循环也接近了极限,也就是left=mid=right=1,根据代码,在num=target=2的时候,根据代码right=mid-1,那么最后right是否一定不指向正确的结果1,而left指针还没有被移动,依然指向mid,所以我们最后应该返回left
• 再来看一种情况对于数组[1,2,2,2,3]如果我们查找的是数字4,由于数组中的数字都小于target,我们会不断的缩小左边界,直到退出循环left=right+1,此时left一定是越界的,因为right从头到尾都没动过,而left=right+1保证了left越界
• 再来看一种情况对于数组[1,2,2,2,3]如果查找的是数字0,由于数组中的数字都大于target,我们会不断的缩小右边界,直到退出循环left=right+1,由于我们最后判断的是left指针,即使right指针越界了,left=right+1也能保证left刚好在下标0的位置,所以是不需要考虑左侧越界的情况的

讲到这里是不是觉得写法一来解决这样的问题真的很复杂,所以我们接下来要说写法二

写法二

使用写法二来解决左侧边界问题,代码如下:

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1while left < right:mid = (right - left) // 2 + leftnum = nums[mid]if num < target:left = mid + 1else:right = midreturn left

注意点如下:

• while循环结束的条件是left<right,这说明循环退出的条件是left==right==mid,最后的返回值我们这里返回的是left,其实返回right也是可以的,因为循环退出的条件是left==mid==right嘛
• 可以看到另一个不同在于在else条件里我们偏移右指针的时候写的是right=mid,我们合并了num>target和num=target的条件,所以为什么是写成right=mid而不是right=mid-1呢?

left=mid+1和right=mid

• 对于left=mid+1可以这么理解,mid此时的值一定不是我们需要的值,所以我们可以直接越过.举个例子对于数组[1,2,3,4,4,5,5],如果要搜索数字5,我们第一个搜索到的数字mid=(left+right)/2=nums[3]=4,此时4<target,那么是否一定不是我们需要的结果,那么我们可以直接越过
• 对于right=mid,mid的值可能是我们需要的值,但是在当前循环中我们无法判断出来,所以我们进行保留,举个列子,对于数组[1,5,5,5],如果要搜索数字5,我们第一个搜索到的数字mid=nums[1]=5,此时的5是下标为1的5,并且也是最终我们需要找到的最左侧边界,此时right=mid这行代码就能帮助我们把结果保留了,而后等待left不断右移知道left==right就能退出循环返回最终结果了

寻找右侧边界

学会了寻找左侧边界,那么右侧边界是否也很容易理解了,其实这里有一个小坑,还需要填一下,这里先给出寻找右侧边界的代码

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1while left < right:mid = (right - left + 1) // 2 + leftnum = nums[mid]if num > target:right = mid - 1else:left =  midreturn right

• 相信你已经发现了,在取mid的时候我们在括号里加上了一个1,这是因为程序语言中除法操作后下标向下取整(例如(1+2)/2=1),而在寻找右侧边界的过程中,这个操作会导致死循环,永远退不出循环,举个列子:
• 两者相除,向下取整,这个操作是不是说明mid在有些情况下会向左偏向,我们在寻找左侧边界的时候,需要它向左偏向因此能退出循环,而在寻找右侧边界时,需要它向右收缩边界,此时是否就和向下取整这个情况矛盾了,此时一左一右就会导致永远进入死循环了,因此需要mid=(right-left+1)//2+left这个操作来打破这个死循环

总结

这里很重要哦,如果理解了这里,就离彻底理解二分写法不远了

• 写法一适合用于在[left,right]这个范围内找到值,例如最基础的二分写法,这种写法需要判断最后返回的是left还是right,要分析最后一次循环后造成的结果
• 写法二适合用于在[left,right]这个区间内排除值,然后在left=right=mid的时候找到最后的答案,因此写法二的if条件里写的是target值一定不存在的情况
• 在写法二中如果else条件里是left=mid这个条件(趋向是收缩左边界和向下取整相反),需要修改mid为(right-left+1)//2+left来避免死循环情况的出现

二分搜索代码很简单,但细节是魔鬼,如果觉得自己理解了可以使用写法二做做这一题,题目链接