【动态规划算法题记录】最长/最大 问题汇总 (leetcode)

32. 最长有效括号

题目🔗

给你一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。

示例 1：
输入：s = "(()"
输出：2
解释：最长有效括号子串是 "()"
示例 2：
输入：s = ")()())"
输出：4
解释：最长有效括号子串是 "()()"
示例 3：
输入：s = ""
输出：0

思路

首先，我们定义一个dp数组，表示以第i个元素结尾的字符串的最长有效括号的长度。

对于dp[i]来说，它可能有以下两种情况：

• s[i] == '('：这时他是无法和前面的括号组成有效括号对的，所以dp[i] = 0。
• s[i] == ')'：这时我们需要确定它是否能和前面的元素组成有效括号对，那么还需要去观察s[i-1]：
  • s[i-1] == '('：s[i-1]刚好和s[i]组成一对有效括号，长度为2。那么这种情况下我们可以推导出：$$dp[i]=dp[i-2]+2$$
  • s[i-1] == ')'：对于这种情况来说，我们不知道s[i-1]是否和前面的元素组成有效括号，但无论如何，dp[i-1]中存放的总是以s[i-1]结尾的字符串的最长有效括号长度。假设s[i-1]是有效的括号对之一，那么与他配对的括号index就是i-dp[i-1]，于是乎我们就可以找到和s[i]配对的位置i-dp[i-1]-1，这样如果s[i-dp[i-1]-1] == '('，那么s[i]就能与他配对上。那么我们就可以推导出：$$dp[i]=dp[i-1]+2+dp[i-dp[i-1]-2]$$

注意，上面要需要加上$dp[i-dp[i-1]-2]$，这是因为如果我们判定s[i-dp[i-1]-1] == '('与s[i]配对的话，还需要考虑s[i-dp[i-1]-1]之前的情况。

代码

class Solution {
public:int longestValidParentheses(string s) {vector<int> dp(s.size(), 0);int ans = 0;for(int i = 1; i < s.size(); ++i){if(s[i] == ')'){// 前面一个是（的情况，直接配对成功if(s[i - 1] == '('){dp[i] = 2;// 加上前面配对的数量if(i - 2 >= 0) dp[i] += dp[i - 2];}// 前面一个也是），但是有配对的else if(dp[i - 1] > 0){// 判断匹配位置的符号是不是（，如果是则可以配对if((i - dp[i - 1] - 1) >= 0 && s[i - dp[i - 1] - 1] == '('){dp[i] = dp[i - 1] + 2;// 加上前面配对的数量if(i - dp[i - 1] - 2 >= 0) dp[i] += dp[i - dp[i - 1] - 2];}}}ans = max(ans, dp[i]);}return ans;}
};

300. 最长递增子序列

题目🔗

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

思路

dp[i]表示第i个数为结尾的子序列的最长严格递增长度。

很容易的就能想到，我们要计算的dp[i]一共有两种情况：
- nums[i] > nums[i - 1]：此时dp[i] = dp[i-1] + 1
- nums[i] < nums[i - 1]：此时dp[i] = dp[i-1]

但是如果我们简单的将代码写成这样：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size(), 1);for(int i = 1; i < nums.size(); ++i){if(nums[i] > nums[i - 1])dp[i] = dp[i - 1] + 1;else dp[i] = dp[i-1];}return dp[nums.size()-1];}

当测试用例为：nums = [4,10,4,3,8,9]。我们打印出上面代码计算出的dp数组：1 2 2 2 3 4 。可以发现并不是我们所期望的那样，当i=4时，dp[4]应该为2，而不是3。

我们计算成3是因为：对于子数组[4,10,4,3]来说，它的最大递增子序列为4, 10。我们如果只是简单的判断nums[4] > nums[3]，就执行dp[i] = dp[i - 1] + 1，那么就相当于是把4, 10, 8当成了最大递增子序列，然而它并不是的，所以这里就出现了判断失误。

正确的做法是，我们要把dp[i]定义为第i个数为结尾的子数组的最长严格递增长度，并且该最长严格递增子序列最后一个数必定是nums[i]。

每次进行判断的时候，我们要对该子数组各个位置nums[j]进行遍历，并比较与nums[i]的大小，如果nums[i] > nums[j]，那么就有dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

最终答案就是dp数组中最大的那个数。

代码

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size(), 1);int ans = 1;for(int i = 1; i < nums.size(); ++i){for(int j = 0; j < i; ++j){if(nums[i] > nums[j])dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}ans = max(ans, dp[i]);}return ans;}
};

674. 最长连续递增序列

题目🔗

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例 2：
输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

思路1：双指针

定义两个指针：int slow和int fast。

代码1：双指针

class Solution {
public:int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {int slow = 0;int ans = 0;while(slow < nums.size()){int fast = slow + 1;while(fast < nums.size() && nums[fast] > nums[fast - 1]){fast++;}ans = max(ans, fast - slow);slow = fast;}return ans;}
};

思路2：dp

dp的思路和上题类似。我们定义一个dp数组，dp[i]表示第i个数为结尾的子数组的最长连续递增长度，并且该最长连续递增序列最后一个数必定是nums[i]。

与上题不一样的就是我们不在需要遍历子数组了，直接判断nums[i]和nums[i - 1]的大小即可。

代码2：dp

class Solution {
public:int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size(), 1);int ans = 1;for(int i = 1; i < nums.size(); ++i){if(nums[i] > nums[i - 1]){dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1] + 1);}ans = max(ans, dp[i]);}return ans;}
};

718. 最长重复子数组

题目🔗

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

示例 1：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
示例 2：
输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5

思路1：dp

dp[i][j]表示数组nums1前i个元素和数组nums2前j个元素的最长公共子数组的长度。其实也是和上题一样的。

代码1：dp

我们可以很快写出代码：

class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {vector<vector<int>> dp(nums1.size(), vector<int>(nums2.size(), 0));int ans = 0;// dp数组初始化for(int i = 0; i < nums1.size(); ++i){if(nums2[0] == nums1[i]) dp[i][0] = 1;if(dp[i][0] > ans) ans = dp[i][0];}for(int j = 0; j < nums2.size(); ++j){if(nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;if(dp[0][j] > ans) ans = dp[0][j];}// dp数组推导for(int i = 1; i < nums1.size(); ++i){for(int j = 1; j < nums2.size(); ++j){if(nums1[i] == nums2[j])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;if(dp[i][j] > ans) ans = dp[i][j];}}return ans;}
};

注意初始化的时候我们也要去更新ans的大小，不然会漏结果。

思路2：dp优化

其实，我们可以将dp[i][j]定义为数组nums1前i-1个元素和数组nums2前j-1个元素的最长公共子数组的长度，也就是在nums1前增加一行，nums2前增加一列：

这样我们在定义数组的时候就已经初始化好了，不必额外去for循环初始化：vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));

代码2：dp优化

class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));int ans = 0;// dp数组推导for(int i = 1; i <= nums1.size(); ++i){for(int j = 1; j <= nums2.size(); ++j){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;if(dp[i][j] > ans) ans = dp[i][j];}}return ans;}
};

1143. 最长公共子序列

题目🔗

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

思路

这题和上题的不同之处在于 公共子序列和原字符串是相对有序的。感觉这题有点像300. 最长递增子序列和718. 最长重复子数组的结合体。

上一题以i-1和j-1是因为子数组必须要求是连续的，如果不连续，公共子数组直接归零，下一个子数组不能继承前一个子数组的公共子数组长度。

子序列则不一样，允许中间有间隔，下一个子序列可以继承前一个子序列的公共子序列长度。

这样说很抽象，我们举个例子。比如说两个数组nums1 = [1,2,3,4,5], nums2 = [1,2,3,8,5] 。在index=3的时候出现分歧了，如果是公共子数组，到index=3时，其公共子数组必须要归零，如果不归零，会影响index=4的判断。而如果是公共子序列，index=3可以保留index=2的最长子序列数，继而在index=4时继续递增。

代码

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int len1 = text1.size();int len2 = text2.size();vector<vector<int>> dp(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));for(int i = 1; i <= len1; ++i){for(int j = 1; j <= len2; ++j){if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;}else{dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[len1][len2];}
};

1035. 不相交的线（最大连线数）

题目🔗

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：

• nums1[i] == nums2[j]
• 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
  请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例 1：

输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2

思路

和1143. 最长公共子序列一模一样。

代码

class Solution {
public:int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int len1 = nums1.size();int len2 = nums2.size();vector<vector<int>> dp(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));for(int i = 1; i <= len1; ++i){for(int j = 1; j <= len2; ++j){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;}else{dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[len1][len2];}
};

53. 最大子序和

题目🔗

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

思路1：贪心

因为数组中包含负数，所以会拉低连续子数组的和，甚至变为负数，这个时候就说明从前面计算到这里的负数，再继续计算下去肯定只会越来越小，所以我们要放弃前面的元素，从下一个元素开始重新计算。每次计算的时候我们都要记录更大的连续和，最后得到的就是全局最优的最大连续和。

代码1：贪心

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int result = INT32_MIN;int count = 0;for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {count += nums[i];if(count > result) result = count;if(count <= 0) count = 0;}return result;}
};

思路2：dp

dp[i]表示以nums[i-1]为结尾的最大子数组的和为dp[i]。

对于每个dp[i]都有两种情况：

• nums[i-1]加入到前面的子数组中，也就是dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]
• nums[i-1]不加入到前面的子数组中，从它这里重新开始计算和，也就是dp[i] = numd[i - 1]
• 我们取最大的值：dp[i] = max(nums[i - 1], dp[i - 1] + nums[i - 1])

代码2：dp

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);int ans = INT_MIN;for(int i = 1; i <= nums.size(); ++i){dp[i] = max(nums[i - 1], dp[i - 1] + nums[i - 1]);if(dp[i] > ans) ans = dp[i];}return ans;}
};