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矩阵理论复习(十二)

已知方阵A的不变因子:

  1. 求谱半径
  2. 求矩阵级数
  3. 判断矩阵幂级数的收敛性
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    若矩阵B的某个算子范数小于1,则I-B可逆。
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矩阵分析

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任何相容矩阵范数都存在与之相容的向量范数。

盖尔圆盘定理一的证明
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椭圆范数的证明
若||.||是Cm上的向量范数,A为列满秩矩阵,则||A.||是Cn上的向量范数。
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椭圆范数的应用
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Rayleigh商
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R(A+)=R(AH)
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A+=AH(AAH)+=(AHA)+AH
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当A的某算子范数小于1时,证明E-A可逆
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证明自反广义逆

  1. AGA=A
  2. rank(G)=rank(A)

证明G=YZ是A的自反广义逆
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B=[A+ A+]
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设T是线性空间V上的投影,则投影的值域和核互为直和补。
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维数定理
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直和
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正规矩阵A的特征值的模等于A的奇异值

rank(A)=rank(AH)=rank((AHA)=rank((AAH)
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三角矩阵的结论

  1. 上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵,且对角元是R对角元的倒数。
  2. 两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵,且对角元是R1,R2对角元的乘积。
  3. 酉矩阵的逆还是酉矩阵,酉矩阵的乘积仍是酉矩阵。

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