矩阵理论复习(十二)
已知方阵A的不变因子:
- 求谱半径
- 求矩阵级数
- 判断矩阵幂级数的收敛性
若矩阵B的某个算子范数小于1,则I-B可逆。
矩阵分析
任何相容矩阵范数都存在与之相容的向量范数。
盖尔圆盘定理一的证明
椭圆范数的证明
若||.||是Cm上的向量范数,A为列满秩矩阵,则||A.||是Cn上的向量范数。
椭圆范数的应用
Rayleigh商
R(A+)=R(AH)
A+=AH(AAH)+=(AHA)+AH
当A的某算子范数小于1时,证明E-A可逆
证明自反广义逆
- AGA=A
- rank(G)=rank(A)
证明G=YZ是A的自反广义逆
B=[A+ A+]
设T是线性空间V上的投影,则投影的值域和核互为直和补。
维数定理
直和
正规矩阵A的特征值的模等于A的奇异值
rank(A)=rank(AH)=rank((AHA)=rank((AAH)
三角矩阵的结论
- 上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵,且对角元是R对角元的倒数。
- 两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵,且对角元是R1,R2对角元的乘积。
- 酉矩阵的逆还是酉矩阵,酉矩阵的乘积仍是酉矩阵。
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