【数据结构(七)】查找算法

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查找算法介绍

在 java 中，我们常用的查找有四种:
    ① 顺序(线性)查找
    ② 二分查找/折半查找
    ③ 插值查找
    ④ 斐波那契查找

1. 线性查找算法

问题：
    数组arr[] = {1, 9, 11, -1, 34, 89}，使用线性查找方式，找出11所在的位置。

代码实现：

package search;public class SeqSearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 没有顺序的数组int index = seqSearch(arr, 11);if (index == -1) {System.out.println("没有找到");} else {System.out.println("找到了，下标为：" + index);}}/*** 这里实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回* * @param arr* @param value* @return*/public static int seqSearch(int[] arr, int value) {// 线性查找是逐一比对，发现有相同的值，就返回下标for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (arr[i] == value) {return i;}}return -1;}}

运行结果：

2. 二分查找算法

问题：
    请对一个有序数组进行二分查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

2.1. 思路分析

二分查找的思路分析

1. 首先，确定该数组的中间的下标： $mid=(left+right)/2$

2. 然后让需要查找的数 findVal 和 arr[mid] 比较
   2.1. findVal > arr[mid]，说明你要查找的数在mid 的右边, 因此需要递归的向右查找
   2.2. findVal < arr[mid]，说明你要查找的数在mid 的左边, 因此需要递归的向左查找
   2.3. findVal == arr[mid]，说明找到，就返回

3. 什么时候需要结束递归：
   ①找到就结束递归
   ②递归完整个数组，仍然没有找到findVal，也需要结束递归 当 left > right 就需要退出

2.2. 代码实现

注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的

package search;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("resIndex= " + resIndex);}// 二分查找法/*** * @param arr     数组* @param left    左边的索引* @param right   右边的索引* @param findVal 要查找的值* @return 如果找到就返回下标，如果没有找到就返回-1*/public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 当left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到if (left > right) {return -1;}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右递归return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {return mid;}}}

运行结果：

2.3. 功能拓展

问题：
    数组{1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234}， 当一个有序数组中，有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的 1000。

代码实现：

package search;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1234 };List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1000);System.out.println("resIndexList = " + resIndexList);}/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要马上返回* 2. 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 4. 将 ArrayList 返回*/public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 当left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到if (left > right) {return new ArrayList<Integer>();}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右递归return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);} else {/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要马上返回* 2. 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 4. 将 ArrayList 返回*/List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();// 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayListint temp = mid - 1;while (true) {if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否则，就将temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp -= 1;// temp左移}resIndexlist.add(mid);// 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayListtemp = mid + 1;while (true) {if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否则，就将temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp += 1;// temp左移}return resIndexlist;}}}

运行结果：

3. 插值查找算法

3.1. 前言

二分查找算法存在查找效率较慢的情况，因为其中的mid是从中间开始取的。假如对数组{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }进行查找，查找 1 所在的位置，实现代码如下：

package search;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 };List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("resIndexList = " + resIndexList);}/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要马上返回* 2. 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 4. 将 ArrayList 返回*/public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {System.out.println("调用了一次");// 当left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到if (left > right) {return new ArrayList<Integer>();}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右递归return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);} else {/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要马上返回* 2. 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList* 4. 将 ArrayList 返回*/List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();// 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayListint temp = mid - 1;while (true) {if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否则，就将temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp -= 1;// temp左移}resIndexlist.add(mid);// 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayListtemp = mid + 1;while (true) {if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否则，就将temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp += 1;// temp左移}return resIndexlist;}}}

运行结果：

总共调用了4次才查找出1的索引值，效率较慢。通过插值查找可改善上述问题。

3.2. 相关概念

原理介绍：
    插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

mid的计算公式：
    对二分查找中的求 mid 索引的公式进行修改：

上图公式中：
① low 表示左边索引 left
② high 表示右边索引 right
③ key 就是前面二分查找中讲的 findVal(要查找的值)

即插值查找的 mid计算公式：
$$\begin{array}{rl}& mid=low+(high-low)\frac{key-arr[low]}{arr[high]-arr[low]}\end{array}$$
对应前面的代码公式，即：
$$\begin{array}{rl}& mid=left+(right–left)\frac{findVal–arr[left]}{arr[right]–arr[left]}\end{array}$$

举例说明：
    
    数组 arr = [1, 2, 3, …, 100]
    
①假如需要查找的值是 1
    (使用二分查找的话，需要多次递归，才能找到 1 的下标0)
    使用插值查找算法：
$$\begin{array}{rl}& mid=left+(right–left)\frac{findVal–arr[left]}{arr[right]–arr[left]}\end{array}$$
即：
$$\begin{array}{rl}& mid=0+(99-0)\frac{1-1}{100-1}=0+99\ast \frac{0}{99}=0(直接定位到下标0)\end{array}$$
②假如需要查找的值是 100
$$\begin{array}{rl}& mid=0+(99-0)\frac{100-1}{(100-1}=0+99\ast \frac{99}{99}=0+99=99(直接定位到下标99)\end{array}$$

3.3. 实例应用

问题：
    对数组 arr = [1, 2, 3, …, 100] ，使用插值查找算法，找到 1 的索引值(下标)

代码实现：

package search;import java.util.Arrays;public class InsertValueSearch {public static void main(String[] args) {int[] arr = new int[100];for (int i = 0; i < 100; i++) {arr[i] = i + 1;}int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("index = " + index);// System.out.println(Arrays.toString(arr));}// 编写插值查找算法// 说明：插值查找算法也要求数组是有序的/*** * @param arr     数组* @param left    左边索引* @param right   右边索引* @param findVal 要查找的值* @return 如果找到，就返回对应的下标；如果没有找到，就返回-1*/public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {System.out.println("查找了一次");// 注意：findVal < arr[0] 和 findVal > arr[arr.length - 1] 必须需要，否则得到的mid可能越界if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {return -1;}// 求出 midint mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 说明应该向右边递归return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {// 说明应该向左递归return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {return mid;}}}

运行结果：

注意事项：

1. 对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找, 速度较快.
2. 关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半(二分)查找要好

4. 斐波那契(黄金分割法)查找算法

    
    黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意想不到的效果。

    斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … … } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618。

4.1. 斐波那契(黄金分割法)原理

    斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 $mid=low+F[k-1]-1$（$F$ 代表斐波那契数列），如下图所示：

对 F(k-1)-1 的理解：

1. 由斐波那契数列 $F[k]=F[k-1]+F[k-2]$ 的性质，可以得到 $(F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1$ 。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 $F[k-1]-1$ 和 $F[k-2]-1$ 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 $mid=low+F[k-1]-1$
2. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
3. 但顺序表长度 $n$ 不一定刚好等于 $F[k]-1$，所以需要将原来的顺序表长度 $n$ 增加至 $F[k]-1$。这里的 $k$ 值只要能使得 $F[k]-1$ 恰好大于或等于 $n$ 即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 $n+1$ 到 $F[k]-1$ 位置），都赋为 $n$ 位置的值即可。

while(n>fib(k)-1)
  k++;

4.2. 实例应用

问题：
    请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"(return = -1)。

代码实现：

package search;import java.util.Arrays;public class FibonacciSearch {public static int maxSize = 20;public static void main(String[] args) {int[] arr = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };System.out.println("index = " + fibSearch(arr, 89));}// 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1,需要使用斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列// 非递归方法得到一个斐波那契数列public static int[] fib() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < maxSize; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}// 编写斐波那契查找算法// 使用非递归的方式编写算法/*** * @param a   数组* @param key 需要查找的关键字(值)* @return 返回对应的下标，如果没有，就返回-1*/public static int fibSearch(int[] a, int key) {int low = 0;int high = a.length - 1;int k = 0;// 表示斐波那契分割数值的下标int mid = 0;// 存放mid值int f[] = fib();// 获取到斐波那契数列// 获取到斐波那契分割数值的下标while (high > f[k] - 1) {k++;}// 因为f[k]的值 可能大于a的长度，因此需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向a[]// 不足的部分会使用0填充int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);// 实际上，需要使用a数组的最后的数填充temp// 举例：// temp = {1,8,10,89,1000,1234,0,0,0} --> {1,8,10,89,1000,1234,1234,1234,1234}for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {temp[i] = a[high];}// 使用while循环处理，找到keywhile (low <= high) {// 只要这个条件满足，就可以找mid = low + f[k - 1] - 1;if (key < temp[mid]) {// 继续向数组的前面查找（左边）high = mid - 1;// 为什么是k--？// 说明：// 1. 全部元素=前面的元素+后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 因为 前面有f[k-1]个元素，所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]// 即 在f[k-1]的前面继续查找(k--)// 即 下次循环的 mid = f[k-1-1]-1k--;} else if (key > temp[mid]) {// 继续向数组的后面查找（右边）low = mid + 1;// 为什么是 k -= 2// 说明// 1. 全部元素=前面的元素+后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 因为 后面有f[k-2]个元素，所以可以继续拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]// 即 在f[k-2]的后面继续查找(k-=2)// 即 下次循环的 mid = f[k-1-2]-1k -= 2;} else {// 找到// 需要确定，返回的是哪一个下标if (mid <= high) {return mid;} else {return high;}}}return -1;}}

运行结果：